Fonction (mathématiques) – Exploitation minière de wikipédia bitcoin

En mathématiques, une fonction est une relation entre un ensemble d’entrées (variable) et un ensemble de sorties (image), avec la propriété qui est liée à une sortie unique. Un exemple de fonction est à la fonction de tout nombre noté x associe son carré. Ainsi, le nombre 3 se verra associé le nombre 9, et le nombre -4 le nombre 16, par exemple. Sur note une certaine fonction f (x) = x 2 ou bien f: x ↦ x 2; la notation f (x) se lit f de x. Sur écrit f (3) = 9 ou encore f (-4) = 16.

Dans le cadre de l’analyse, le terme est essentiellement employé pour une fonction numérique, c’est-à-dire le résultat est toujours un nombre. Mais il s’utilise parfois pour les extensions de la notion comme les classes de fonctions p-intégrables ou les distributions comme la fonction de Dirac.


En théorie des ensembles, une fonction, ou une application, est une relation entre deux ensembles pour chaque élément du premier est en relation avec un élément unique du second [1]. Des fonctions, des applications et des particularités: une fonction associée à un élément de départ plus un élément de l’ensemble d’arrivée.

La définition du concept de fonction a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVII e siècle [2]. Il ya un lien à chaque point d’une courbe, par exemple la tangente. Jean Bernoulli Euler redéfinissent ensuite ce terme pour décrire une expression composée d’une variable et d’éventuels paramètres constants (réels). Les opérations comprennent non seulement les opérations algébriques élémentaires, les séries et produits infinis mais aussi l’exponentielle, le logarithme et les lignes trigonométriques, considérées comme des opérations transcendantes.

Le lien entre l’expression d’une fonction et sa courbe représente un conduit Euler l’élargissement de la notion en admettant des définitions par des fragments (en) puis des courbes qui ne peuvent être obtenues par des expressions analytiques. La condition de continuité est formalisée par Bolzano et Cauchy au début du XIX e siècle, puis contournée par Dirichlet avec l’indicatrice des rationnels.

Parallèlement, le domaine de la variable s’ouvre aux complexes complexes. Au début du XX e siècle, les fonctions acceptent plusieurs variables, peuvent être définies sur un ensemble quelconque. Sous l’impulsion de Fréchet, la valeur d’une fonction convient à la même généralisation. La théorie de l’intégration et de l’analyse fonctionnelle va plus loin en ce qui concerne les fonctions presque partout définies, nécessaires pour obtenir une structure d’espace de Banach sur les espaces L p de fonctions p {\ displaystyle p} -intégrables.

En analyse complexe, le prolongement analytique des fonctions holomorphes entraine la prise en compte de fonctions multivaluées sur l’ensemble des complexes, réalisé formellement comme des fonctions classiques sur une surface de Riemann. Typologie [modifier | modifier le code]

Un arc paramétré est défini par une fonction continue d’un intervalle réel vers un espace réel comme le plan complexe ou l’espace euclidien à trois dimensions, mais aussi plus généralement à une variété différentielle. Il peut être utilisé dans chaque point tangent, vecteur normal, rayonne de courbure et cercle osculateur. Plusieurs variables réelles [modifier | modifier le code]

Pour une fonction de plusieurs variables, la notion de dérivée est substituée par les dérivées partielles, la dérivée directionnelle et la différentielle. Les extrema locaux sont repérés comme des points critiques. Complexe variable [modifier | modifier le code]

Une fonction holomorphe est une fonction d’une variable complexe définie et dérivable sur un ouvert de l’ensemble C {\ displaystyle \ mathbb {C}}. Une propriété est toujours infiniment dérivable sur son domaine, mais à la différence des fonctions d’une variable réelle, n’admet pas de primitive. Notes et références [modifier | modifier le code]