Derivative (mathématiques) – Wikipédia anglais, l’encyclopédie libre google wallet bitcoin

La dérivée de y par rapport à x est définie comme la variation de y sur la variation de x, car la distance entre x 0 {\ displaystyle x_ {0}} et x 1 {\ displaystyle x_ {1}} devient infiniment petite ( infinitésimal). En termes mathématiques, f ‘(a) = lim h → 0 f (a + h) – f (a) h {\ displaystyle f’ (a) = \ lim _ {h \ à 0} {\ frac {f ( a + h) -f (a)} {h}}}

C’est-à-dire que lorsque la distance entre les deux points x (h) devient plus proche de zéro, la pente de la ligne entre eux se rapproche davantage d’une ligne tangente. Dérivés de fonctions [changer | changer la source] Fonctions linéaires [changer | changer la source]

Lorsque y modifie le nombre de x en ajoutant ou en soustrayant une valeur constante, la pente est toujours égale à 1 parce que les changements de x et y ne changent pas si le graphique est décalé vers le haut ou vers le bas.


C’est-à-dire que la pente est toujours 1 dans tout le graphe et que sa dérivée est également 1. Fonctions de puissance [changer | changer la source]

Un autre exemple peut-être moins évident est la fonction f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}. C’est essentiellement la même chose car 1 / x peut être simplifié pour utiliser des exposants: f (x) = 1 x = x – 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}} = x ^ {- 1}} f ‘(x) = – 1 (x – 2) {\ displaystyle f’ (x) = – 1 (x ^ {- 2})} f ‘(x) = – 1 x 2 {\ displaystyle f ‘(x) = – {\ frac {1} {x ^ {2}}}}

En outre, les racines peuvent être modifiées pour utiliser des exposants fractionnaires où leur dérivée peut être trouvée: f (x) = x 2 3 = x 2 3 {\ displaystyle f (x) = {\ sqrt [{3}] {x ^ { 2}}} = x ^ {\ frac {2} {3}}} f ‘(x) = 2 3 (x – 1 3) {\ displaystyle f’ (x) = {\ frac {2} {3} } (x ^ {- {\ frac {1} {3}}})} Fonctions exponentielles [changer | changer la source]

Une exponentielle est de la forme abf (x) {\ displaystyle ab ^ {f \ gauche (x \ right)}} où un {\ displaystyle a} et b {\ displaystyle b} sont des constantes et f (x) {\ displaystyle f (x)} est une fonction de x {\ displaystyle x}. La différence entre une exponentielle et un polynôme est que dans un polynôme x {\ displaystyle x} est élevé à une certaine puissance alors que dans un exponentiel x {\ displaystyle x} est en puissance. Exemple 1 [changer | changer la source]

ddx (3 ⋅ 2 3 x 2) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ⁡ (2) = ln ⁡ (2) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx }} \ left (3 \ cdot 2 ^ {3x ^ {2}} \ right) = 3 \ cdot 2 ^ {3x ^ {2}} \ cdot 6x \ cdot \ ln \ gauche (2 \ droite) = \ ln \ left (2 \ right) \ cdot 18x ​​\ cdot 2 ^ {3x ^ {2}}} Fonctions logarithmiques [changer | changer la source]

Prenons, par exemple, d d x ln ⁡ (5 x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln \ left ({\ frac {5} {x}} \ right)}. Ceci peut être réduit à (par les propriétés des logarithmes): ddx (ln ⁡ (5)) – ddx (ln ⁡ (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) – {\ frac {d} {dx}} (\ ln (x))}

Pour les dérivés de logarithmes non en base e comme ddx (log 10 ⁡ (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}, ceci peut être réduit à: ddx log 10 ⁡ (x) = ddx ln ⁡ x ln ⁡ 10 = 1 ln ⁡ 10 ddx ln ⁡ x = 1 x ln ⁡ (10) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {10 } (x) = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}}} = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln {x} = {\ frac {1} {x \ ln (10)}}} Fonctions trigonométriques [changer | changer la source]

La fonction cosinus est la dérivée de la fonction sinus, tandis que la dérivée du cosinus est sinus négative (à condition que x soit mesuré en radians): ddx sin ⁡ (x) = cos ⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)} ddx cos ⁡ (x) = – sin ⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = – \ sin (x)} ddx sec ⁡ (x) = sec ⁡ (x) tan ⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x )}. Propriétés des dérivés [changer | changer la source]

Les dérivées peuvent être divisées en parties plus petites où elles sont gérables (car elles n’ont qu’une des caractéristiques de fonction ci-dessus), par exemple: ddx (3 x 6 + x 2 – 6) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx }} (3x ^ {6} + x ^ {2} -6)} peuvent être séparés comme suit: ddx (3 x 6) + ddx (x 2) – ddx (6) {\ displaystyle {\ frac {d } {dx}} (3x ^ {6}) + {\ frac {d} {dx}} (x ^ {2}) – {\ frac {d} {dx}} (6)} = 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x – 0 {\ displaystyle = 6 \ cdot 3x ^ {5} + 2x-0} = 18 x 5 + 2 x {\ displaystyle = 18x ^ {5} + 2x \,} Utilisations des dérivées [changer | changer la source]